Математический анализ Примеры

$\tan^{5} (x)$

Этап 1

Запишем $\tan^{5} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \tan^{5} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

Этап 4

Вынесем $\tan^{4} (x)$ за скобки.

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

Этап 5.2

Перепишем ${\tan (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Этап 7

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

Этап 8

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Этап 8.2.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Этап 8.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Этап 8.2.4

Перемножим экспоненты в ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

Этап 8.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Этап 10

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Этап 11

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Этап 12

Пусть $u_{1} = \sec (x)$ . Тогда $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{1} = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 12.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $u_{1}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Этап 14

Пусть $u_{2} = \sec (x)$ . Тогда $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Пусть $u_{2} = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 14.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 14.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Этап 15

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{3}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Этап 16.2

Упростим.

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \tan^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$