Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{27 x^{3} + 12}}$

Этап 1

Вынесем множитель $3$ из $27 x^{3} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $27 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 12}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 3 (4)}}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (9 x^{3}) + 3 (4)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3} + 4)}}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt[3]{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Этап 3.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{lim_{x \to \infty} \frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Этап 5.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{3} + 4}{x^{3}}}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Этап 7.1.2

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{1}}}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 7.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 7.5

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 7.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{1}}}$

Этап 9.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим $9 + 4 \cdot 0$ на $1$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Этап 9.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Этап 9.2.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Этап 9.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 0)}}$

Этап 9.2.3.2

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 \cdot 9}}$

Этап 9.2.3.3

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{27}}$

Этап 9.2.3.4

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3^{3}}}$

Этап 9.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{1}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{3}$