Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $x^{3} + 3 x^{2}$ в виде $x^{2} (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Этап 1.1.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Этап 1.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.9.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.9.3

Перенесем ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.9.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.10

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.12

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.13.2

Умножим $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.15

Умножим ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.16

Чтобы записать ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.17

Объединим ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.19

Умножим ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.1

Перенесем ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.19.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.19.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.20

Упростим ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21

Перенесем $2$ влево от $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.22.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.22.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.22.2.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.22.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.22.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.22.3.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.22.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 (x + 2) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $3 (x + 2) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $x + 2$ на $1$ .

$x + 2 = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 12$

Этап 3.3.3.2

Разделим каждый член $4 x = - 12$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 12$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Этап 3.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Этап 3.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Разделим $- 12$ на $4$ .

$x = - 3$

Этап 3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 3}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 < 0$

Этап 3.5

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x < - 3$

Этап 3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Этап 4

Вычислим $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$\sqrt{- 8 + 12}$

Этап 4.1.2.4

Добавим $- 8$ и $12$ .

$\sqrt{4}$

Этап 4.1.2.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$\sqrt{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$\sqrt{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\sqrt{- 27 + 3 \cdot 9}$

Этап 4.2.2.3

Умножим $3$ на $9$ .

$\sqrt{- 27 + 27}$

Этап 4.2.2.4

Добавим $- 27$ и $27$ .

$\sqrt{0}$

Этап 4.2.2.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 2, 2), (- 3, 0)$

Этап 5