Математический анализ Примеры

$f (x) = 1 + \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 1 + \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$x + C + \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C + \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x + C + \int x^{- 4} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$x + C - \frac{1}{3} x^{- 3} + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x - \frac{1}{x^{3} \cdot 3} + C$

Этап 7.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$x - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 1 + \frac{1}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{3 x^{3}} + C$