Математический анализ Примеры

$v = \frac{4}{3} π r^{3}$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$v' = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r} v' = \frac{d}{d r} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Этап 3

Производная $v'$ по $r$ равна $v''$ .

$v''$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Этап 4.1.2

Объединим $\frac{π \cdot 4}{3}$ и $r^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Этап 4.1.3

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{4 π}{3}$ является константой относительно $r$ , производная $\frac{4 π r^{3}}{3}$ по $r$ равна $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2})$

Этап 4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $3$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} r^{2}$

Этап 4.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 π}{3} r^{2}$

Этап 4.4.3

Объединим $\frac{12 π}{3}$ и $r^{2}$ .

$\frac{12 π r^{2}}{3}$

Этап 4.4.4

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $12 π r^{2}$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3}$

Этап 4.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 (1)}$

Этап 4.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 4.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 π r^{2}}{1}$

Этап 4.4.4.2.4

Разделим $4 π r^{2}$ на $1$ .

$4 π r^{2}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$v'' = 4 π r^{2}$

Этап 6

Заменим $v'$ на $\frac{d v}{d r}$ .

$\frac{d v}{d r} = 4 π r^{2}$