Математический анализ Примеры

$f (x) = {(\sqrt{2} - 6 x)}^{5}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(\sqrt{2} - 6 x)}^{5} d x$

Этап 3

Пусть $u = \sqrt{2} - 6 x$ . Тогда $d u = - 6 d x$ , следовательно $- \frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \sqrt{2} - 6 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\sqrt{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2} - 6 x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

По правилу суммы производная $\sqrt{2} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 3.1.2.2

Поскольку $\sqrt{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\sqrt{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Этап 3.1.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$0 - 6$

Этап 3.1.4

Вычтем $6$ из $0$ .

$- 6$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{5} \frac{1}{- 6} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{5} (- \frac{1}{6}) d u$

Этап 4.2

Объединим $u^{5}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{u^{5}}{6} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{u^{5}}{6} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{6} \int u^{5} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- \frac{1}{6} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ в виде $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6 \cdot 6} u^{6} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $6$ на $6$ .

$- \frac{1}{36} u^{6} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\sqrt{2} - 6 x$ .

$- \frac{1}{36} {(\sqrt{2} - 6 x)}^{6} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(\sqrt{2} - 6 x)}^{5}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{36} {(\sqrt{2} - 6 x)}^{6} + C$