Математический анализ Примеры

$y = \sin (4 x - 7)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 4 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 7$ .

$\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $4 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + 0)$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\cos (4 x - 7) \cdot 4$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $4$ влево от $\cos (4 x - 7)$ .

$f' (x) = 4 \cos (4 x - 7)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (4 x - 7)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 7$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 7$ .

$4 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $4 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $4$ и $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

Этап 2.3.7.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x - 7)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 \sin (4 x - 7)$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 7$ .

$- 16 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 7$ .

$- 16 (\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $4 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 3.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 3.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + 0)$

Этап 3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) \cdot 4$

Этап 3.3.6.2

Умножим $4$ на $- 16$ .

$f''' (x) = - 64 \cos (4 x - 7)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64 \cos (4 x - 7)$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 7$ .

$- 64 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 4.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 64 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 7$ .

$- 64 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 4.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$64 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $4 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 4.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 4.3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

Этап 4.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Добавим $4$ и $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

Этап 4.3.7.2

Умножим $4$ на $64$ .

$f^{4} (x) = 256 \sin (4 x - 7)$