Математический анализ Примеры

$P (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 800$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 0.3 t^{3} + 80 t + 800$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 0.3$ является константой относительно $t$ , производная $- 0.3 t^{3}$ по $t$ равна $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 0.3$ .

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [80 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $80$ является константой относительно $t$ , производная $80 t$ по $t$ равна $80 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 1.3.3

Умножим $80$ на $1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $800$ является константой относительно $t$ , производная $800$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $- 0.9 t^{2} + 80$ и $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 0.9 t^{2} + 80$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [80]$ .

$P'' (t) = \frac{d}{d t} (- 0.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (80)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 0.9$ является константой относительно $t$ , производная $- 0.9 t^{2}$ по $t$ равна $- 0.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$P'' (t) = - 0.9 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (80)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$P'' (t) = - 0.9 (2 t) + \frac{d}{d t} (80)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 0.9$ .

$P'' (t) = - 1.8 t + \frac{d}{d t} (80)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $80$ является константой относительно $t$ , производная $80$ относительно $t$ равна $0$ .

$P'' (t) = - 1.8 t + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- 1.8 t$ и $0$ .

$P'' (t) = - 1.8 t$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- 0.3 t^{3} + 80 t + 800$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 0.3$ является константой относительно $t$ , производная $- 0.3 t^{3}$ по $t$ равна $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 0.3$ .

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [80 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $80$ является константой относительно $t$ , производная $80 t$ по $t$ равна $80 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $80$ на $1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [800]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $800$ является константой относительно $t$ , производная $800$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $- 0.9 t^{2} + 80$ и $0$ .

$f' (t) = - 0.9 t^{2} + 80$

Этап 4.2

Первая производная $P (t)$ по $t$ равна $- 0.9 t^{2} + 80$ .

$- 0.9 t^{2} + 80$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 0.9 t^{2} + 80 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $80$ из обеих частей уравнения.

$- 0.9 t^{2} = - 80$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 0.9 t^{2} = - 80$ на $- 0.9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 0.9 t^{2} = - 80$ на $- 0.9$ .

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 0.9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $- 80$ на $- 0.9$ .

$t^{2} = 88.\overline{8}$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \pm \sqrt{88.\overline{8}}$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

Этап 9

Умножим $- 1.8$ на $\sqrt{88.\overline{8}}$ .

$- 16.97056274$

Этап 10

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\sqrt{88.\overline{8}}$ .

$P (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(\sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ .

$P (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 11.2.1.2

Возведем $88.\overline{8}$ в степень $3$ .

$P (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 0.3$ на $\sqrt{702331.96159122}$ .

$P (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 251.41574442 + 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 800$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $- 251.41574442$ и $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ .

$P (\sqrt{88.\overline{8}}) = 502.83148884 + 800$

Этап 11.2.2.2

Добавим $502.83148884$ и $800$ .

$P (\sqrt{88.\overline{8}}) = 1302.83148884$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $1302.83148884$ .

$y = 1302.83148884$

Этап 12

Найдем вторую производную в $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$

Этап 13

Умножим $- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $- 1.8$ .

$1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

Этап 13.2

Умножим $1.8$ на $\sqrt{88.\overline{8}}$ .

$16.97056274$

Этап 14

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- \sqrt{88.\overline{8}}$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(- \sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{88.\overline{8}}$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 15.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 15.2.1.4

Возведем $88.\overline{8}$ в степень $3$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{702331.96159122}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- 0.3 (- \sqrt{702331.96159122})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 0.3$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 15.2.1.5.2

Умножим $0.3$ на $\sqrt{702331.96159122}$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 800$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 1$ на $80$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 - 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 800$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ из $251.41574442$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 502.83148884 + 800$

Этап 15.2.2.2

Добавим $- 502.83148884$ и $800$ .

$P (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 297.16851115$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $297.16851115$ .

$y = 297.16851115$

Этап 16

Это локальные экстремумы $P (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 800$ .

$(\sqrt{88.\overline{8}}, 1302.83148884)$ — локальный максимум

$(- \sqrt{88.\overline{8}}, 297.16851115)$ — локальный минимум

Этап 17