Математический анализ Примеры

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{1}{4 + 3 y} + \frac{1}{y}}{y + 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{4 + 3 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{1}{4 + 3 y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}}{y + 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{1}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{1}{4 + 3 y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}}{y + 1}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(4 + 3 y) y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{4 + 3 y}$ на $\frac{y}{y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y}{(4 + 3 y) y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}}{y + 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y}{(4 + 3 y) y} + \frac{4 + 3 y}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(4 + 3 y) y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y}{y (4 + 3 y)} + \frac{4 + 3 y}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y + 4 + 3 y}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Этап 1.5

Добавим $y$ и $3 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{y \to - 1} \frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y)} \cdot \frac{1}{y + 1}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y)}$ на $\frac{1}{y + 1}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{y \to - 1} 4 y + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{y \to - 1} 4 y + lim_{y \to - 1} 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{4 lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- 1$ .

$\frac{4 lim_{y \to - 1} y + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 1$ для $y$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $y$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot lim_{y \to - 1} 4 + 3 y \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (lim_{y \to - 1} 4 + lim_{y \to - 1} 3 y) \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + lim_{y \to - 1} 3 y) \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Этап 3.1.3.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Этап 3.1.3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot (lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 1)}$

Этап 3.1.3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot (lim_{y \to - 1} y + 1)}$

Этап 3.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 1$ для $y$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot (lim_{y \to - 1} y + 1)}$

Этап 3.1.3.7.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 1$ для $y$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 + 3 \cdot - 1) \cdot (lim_{y \to - 1} y + 1)}$

Этап 3.1.3.7.3

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 1$ для $y$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 + 3 \cdot - 1) \cdot (- 1 + 1)}$

Этап 3.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 - 3) \cdot (- 1 + 1)}$

Этап 3.1.3.8.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Этап 3.1.3.8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Этап 3.1.3.8.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.8.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{y \to - 1} \frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y) (y + 1)} = lim_{y \to - 1} \frac{\frac{d}{d y} [4 y + 4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{d}{d y} [4 y + 4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $4 y + 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 y$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 + 0}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Этап 3.3.5

Добавим $4$ и $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y (4 + 3 y)$ и $g (y) = y + 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y + 1] + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Этап 3.3.7

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) (1 + 0) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) \cdot 1 + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Этап 3.3.11

Умножим $y$ на $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Этап 3.3.12

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y \frac{d}{d y} [4 + 3 y] + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Этап 3.3.13

По правилу суммы производная $4 + 3 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [3 y]) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Этап 3.3.14

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (0 + \frac{d}{d y} [3 y]) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Этап 3.3.15

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y \frac{d}{d y} [3 y] + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Этап 3.3.16

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (3 \frac{d}{d y} [y]) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Этап 3.3.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (3 \cdot 1) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Этап 3.3.18

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y \cdot 3 + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Этап 3.3.19

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (3 \cdot y + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Этап 3.3.20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (3 y + (4 + 3 y) \cdot 1)}$

Этап 3.3.21

Умножим $4 + 3 y$ на $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (3 y + 4 + 3 y)}$

Этап 3.3.22

Добавим $3 y$ и $3 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (6 y + 4)}$

Этап 3.3.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + (y + 1) (6 y + 4)}$

Этап 3.3.23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + (y + 1) (6 y) + (y + 1) \cdot 4}$

Этап 3.3.23.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + y (6 y) + 1 (6 y) + (y + 1) \cdot 4}$

Этап 3.3.23.4

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.23.5.1

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 \cdot y + y (3 y) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 (y^{1} y) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 (y^{1} y^{1}) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{1 + 1} + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 (y^{1} y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 (y^{1} y^{1}) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{1 + 1} + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.10

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 6 y + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.11

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 6 y + 4 \cdot y + 1 \cdot 4}$

Этап 3.3.23.5.12

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 6 y + 4 y + 4}$

Этап 3.3.23.5.13

Добавим $6 y$ и $4 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 10 y + 4}$

Этап 3.3.23.5.14

Добавим $3 y^{2}$ и $6 y^{2}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 9 y^{2} + 10 y + 4}$

Этап 3.3.23.5.15

Добавим $4 y$ и $10 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{9 y^{2} + 14 y + 4}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$4 lim_{y \to - 1} \frac{1}{9 y^{2} + 14 y + 4}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $y$ к $- 1$ .

$4 \frac{lim_{y \to - 1} 1}{lim_{y \to - 1} 9 y^{2} + 14 y + 4}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- 1$ .

$4 \frac{1}{lim_{y \to - 1} 9 y^{2} + 14 y + 4}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- 1$ .

$4 \frac{1}{lim_{y \to - 1} 9 y^{2} + lim_{y \to - 1} 14 y + lim_{y \to - 1} 4}$

Этап 4.5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$4 \frac{1}{9 lim_{y \to - 1} y^{2} + lim_{y \to - 1} 14 y + lim_{y \to - 1} 4}$

Этап 4.6

Вынесем степень $2$ в выражении $y^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 \frac{1}{9 {(lim_{y \to - 1} y)}^{2} + lim_{y \to - 1} 14 y + lim_{y \to - 1} 4}$

Этап 4.7

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$4 \frac{1}{9 {(lim_{y \to - 1} y)}^{2} + 14 lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 4}$

Этап 4.8

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- 1$ .

$4 \frac{1}{9 {(lim_{y \to - 1} y)}^{2} + 14 lim_{y \to - 1} y + 4}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 1$ для $y$ .

$4 \frac{1}{9 {(- 1)}^{2} + 14 lim_{y \to - 1} y + 4}$

Этап 5.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 1$ для $y$ .

$4 \frac{1}{9 {(- 1)}^{2} + 14 \cdot - 1 + 4}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 \frac{1}{9 \cdot 1 + 14 \cdot - 1 + 4}$

Этап 6.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$4 \frac{1}{9 + 14 \cdot - 1 + 4}$

Этап 6.1.3

Умножим $14$ на $- 1$ .

$4 \frac{1}{9 - 14 + 4}$

Этап 6.1.4

Вычтем $14$ из $9$ .

$4 \frac{1}{- 5 + 4}$

Этап 6.1.5

Добавим $- 5$ и $4$ .

$4 (\frac{1}{- 1})$

Этап 6.2

Разделим $1$ на $- 1$ .

$4 \cdot - 1$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4$