Математический анализ Примеры

y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где

f (x) = 4 x^{2} - 16

$f (x) = 4 x^{2} - 16$ и

g (x) = x - 2

$g (x) = x - 2$ .

\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная

4 x^{2} - 16

$4 x^{2} - 16$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку

4

$4$ является константой относительно

x

$x$ , производная

4 x^{2}

$4 x^{2}$ по

x

$x$ равна

4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим

2

$2$ на

4

$4$ .

\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку

- 16

$- 16$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 16

$- 16$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим

8 x

$8 x$ и

0

$0$ .

\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Перенесем

8

$8$ влево от

x - 2

$x - 2$ .

\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная

x - 2

$x - 2$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Поскольку

- 2

$- 2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 2

$- 2$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.10.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{(8 x + 8 \cdot - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{(8 x + 8 \cdot - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1.1

Перенесем

x

$x$ .

\frac{8 (x \cdot x) + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.1.2

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.2

Умножим

8

$8$ на

- 2

$- 2$ .

\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим

4

$4$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 16

$- 16$ .

\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Вычтем

4 x^{2}

$4 x^{2}$ из

8 x^{2}

$8 x^{2}$ .

\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 x^{2} - 16 x + 16

$4 x^{2} - 16 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 x^{2}

$4 x^{2}$ .

\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.2

Вынесем множитель

4

$4$ из

- 16 x

$- 16 x$ .

\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.3

Вынесем множитель

4

$4$ из

16

$16$ .

\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.4

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 x^{2} + 4 (- 4 x)

$4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.5

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4

$4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

4 x = 2 \cdot x \cdot 2

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 1.3.5.2.3

Перепишем многочлен.

\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 2

$b = 2$ .

\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель

{(x - 2)}^{2}

${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Разделим

$4$ на

$1$ .

$f' (x) = 4$

Этап 2

Поскольку

$4$ является константой относительно

$x$ , производная

$4$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$f'' (x) = 0$