Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}} d x$

Этап 4

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2} d x$

Этап 6

Развернем $(3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2}) x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 x^{3} x^{- 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x^{3 - 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Этап 6.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$\int 3 x^{1} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Этап 6.5

Упростим.

$\int 3 x - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Этап 6.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x - 7 x^{2 - 2} + 4 x^{- 2} d x$

Этап 6.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int 3 x - 7 x^{0} + 4 x^{- 2} d x$

Этап 6.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 3 x - 7 \cdot 1 + 4 x^{- 2} d x$

Этап 6.9

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\int 3 x - 7 + 4 x^{- 2} d x$

Этап 6.10

Перенесем $- 7$ .

$\int 3 x + 4 x^{- 2} - 7 d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Этап 10

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 7 d x$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Этап 13.2

Упростим.

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$