Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{3}{10}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{10} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим $\frac{15}{10}$ и $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.6

Сократим общий множитель $15$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 (4 x^{3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x^{4}}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.3

Объединим $4$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.5

Объединим $\frac{12}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6.2.4

Разделим $6 x^{3}$ на $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Этап 1.2.3.3

Умножим $3$ на $20$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{3}$ .

$6 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $60 x^{2}$ .

$6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10)$ .

$6 x^{2} (x + 10) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x^{2} (x + 10) = 0$ верно.

$x = 0, - 10$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $\frac{3}{10}$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $5$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $- 10$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot {(- 10)}^{5} + 5 {(- 10)}^{4}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 10$ в степень $5$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot - 100000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $10$ из $- 100000$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 (- 10000)) + 5 {(- 10)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 \cdot - 10000) + 5 {(- 10)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 10) = 3 \cdot - 10000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $3$ на $- 10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Возведем $- 10$ в степень $4$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 \cdot 10000$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $5$ на $10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 50000$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 30000$ и $50000$ .

$f (- 10) = 20000$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $20000$ .

$20000$

Этап 3.4

Подставляя $- 10$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ , найдем точку $(- 10, 20000)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 10, 20000)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 10, 20000)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 10)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10.1$ .

$f'' (- 10.1) = 6 {(- 10.1)}^{3} + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 10.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 10.1) = 6 \cdot - 1030.301 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $6$ на $- 1030.301$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 10.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 \cdot 102.01$

Этап 5.2.1.4

Умножим $60$ на $102.01$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 6120.6$

Этап 5.2.2

Добавим $- 6181.806$ и $6120.6$ .

$f'' (- 10.1) = - 61.206$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 61.206$ .

$- 61.206$

Этап 5.3

При $- 10.1$ вторая производная имеет вид $- 61.206$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 10)$ .

Убывание на $(- \infty, - 10)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 10, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f'' (- 5) = 6 {(- 5)}^{3} + 60 {(- 5)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$f'' (- 5) = 6 \cdot - 125 + 60 {(- 5)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $6$ на $- 125$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 {(- 5)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 \cdot 25$

Этап 6.2.1.4

Умножим $60$ на $25$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 1500$

Этап 6.2.2

Добавим $- 750$ и $1500$ .

$f'' (- 5) = 750$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $750$ .

$750$

Этап 6.3

При $- 5$ вторая производная имеет вид $750$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 10, 0)$ .

Возрастание в области $(- 10, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $6$ на $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 {(0.1)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 \cdot 0.01$

Этап 7.2.1.4

Умножим $60$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.6$

Этап 7.2.2

Добавим $0.006$ и $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.606$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.606$ .

$0.606$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.606$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- 10, 20000)$ .

$(- 10, 20000)$

Этап 9