Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} - 1}{3^{x + 2} - 9}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{3^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Этап 1.1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Этап 1.1.3.1.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Этап 1.1.3.1.5

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + 2} - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{3^{0 + 2} - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} - 1}{3^{x + 2} - 9} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $3^{2 x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 3^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.3.5

Перенесем $2$ влево от $3^{2 x} \ln (3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3) + 0}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $3^{x + 2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3^{x + 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.7.1.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.7.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.7.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.7.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.7.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.7.6

Умножим $3^{x + 2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $3^{x + 2} \ln (3)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3)}$

Этап 1.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель $3^{2 x}$ и $3^{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $3^{x + 2}$ из $2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x + 2} (2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3))}{3^{x + 2} \ln (3)}$

Этап 1.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Вынесем множитель $3^{x + 2}$ из $3^{x + 2} \ln (3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x + 2} (2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3))}{3^{x + 2} (\ln (3))}$

Этап 1.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x + 2} (2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3))}{3^{x + 2} \ln (3)}$

Этап 1.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 1.4.2.2

Разделим $2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} 3^{2 x - (x + 2)}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$2 \cdot 3^{lim_{x \to 0} 2 x - (x + 2)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $2 x - (x + 2)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \cdot 3^{2 \cdot 0 - (0 + 2)}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$2 \cdot 3^{0 - (0 + 2)}$

Этап 3.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2 \cdot 3^{0 - 1 \cdot 2}$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \cdot 3^{0 - 2}$

Этап 3.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$2 \cdot 3^{- 2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cdot \frac{1}{3^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$2 \cdot \frac{1}{9}$

Этап 4.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{9}$

Десятичная форма:

$0.\overline{2}$