Математический анализ Примеры

$\int \frac{3}{\sqrt{x^{5}}} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{x^{5}}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{5}}$ в виде $x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{5}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 \int {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d x$

Этап 2.3.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int x^{- \frac{5}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{5}{2}}$ по $x$ имеет вид $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$3 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C)$

Этап 4.1.2

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$3 (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Этап 4.1.3

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C)$

Этап 4.2

Упростим.

$3 (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}) + C$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 4.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 4.3.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 6}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 4.3.4

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 4.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{3}{2}})} + C$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 4.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{x^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + C$