Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$ в виде ${(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 3 x^{5} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{5} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{5} - 2 x$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.4

Умножим $5$ на $3$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$ .

$- (15 x^{4} - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (15 x^{4}) - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $15$ на $- 1$ .

$(- 15 x^{4} - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Этап 4.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{5} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{5}$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) - 2 x)}^{2}}$

Этап 4.6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) + x \cdot - 2)}^{2}}$

Этап 4.6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x^{4}) + x \cdot - 2$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4} - 2))}^{2}}$

Этап 4.6.2

Применим правило умножения к $x (3 x^{4} - 2)$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.7

Умножим $- 15 x^{4} + 2$ на $\frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 15 x^{4} + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (15 x^{4}) + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.9

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (15 x^{4}) - 1 (- 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (15 x^{4}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.11

Перепишем $- (15 x^{4} - 2)$ в виде $- 1 (15 x^{4} - 2)$ .

$\frac{- 1 (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15 x^{4} - 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$