Математический анализ Примеры

$\int (\frac{x^{3} + \sqrt{x}}{x^{5}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{x^{5}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) x^{- 5} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (x^{3} + x^{\frac{1}{2}}) x^{- 5} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{3} x^{- 5} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{3 - 5} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

Этап 5.3

Вычтем $5$ из $3$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} - 5} d x$

Этап 5.5

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Этап 5.6

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1 - 5 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1 - 10}{2}} d x$

Этап 5.8.2

Вычтем $10$ из $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{- 9}{2}} d x$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x^{- 2} + x^{- \frac{9}{2}} d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- \frac{9}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{9}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{9}{2}}$ по $x$ имеет вид $- \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}}$ .

$- x^{- 1} + C - \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}} + C$

Этап 10

Упростим.

$- \frac{1}{x} - \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}} + C$