Математический анализ Примеры

$Z = \frac{X Y}{X + Y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d X} (Z) = \frac{d}{d X} (\frac{X Y}{X + Y})$

Этап 2

Производная $Z$ по $X$ равна $Z'$ .

$Z'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $Y$ является константой относительно $X$ , производная $\frac{X Y}{X + Y}$ по $X$ равна $Y \frac{d}{d X} [\frac{X}{X + Y}]$ .

$Y \frac{d}{d X} [\frac{X}{X + Y}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [\frac{f (X)}{g (X)}]$ имеет вид $\frac{g (X) \frac{d}{d X} [f (X)] - f (X) \frac{d}{d X} [g (X)]}{{g (X)}^{2}}$ , где $f (X) = X$ и $g (X) = X + Y$ .

$Y \frac{(X + Y) \frac{d}{d X} [X] - X \frac{d}{d X} [X + Y]}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$Y \frac{(X + Y) \cdot 1 - X \frac{d}{d X} [X + Y]}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Умножим $X + Y$ на $1$ .

$Y \frac{X + Y - X \frac{d}{d X} [X + Y]}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $X + Y$ по $X$ имеет вид $\frac{d}{d X} [X] + \frac{d}{d X} [Y]$ .

$Y \frac{X + Y - X (\frac{d}{d X} [X] + \frac{d}{d X} [Y])}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$Y \frac{X + Y - X (1 + \frac{d}{d X} [Y])}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Поскольку $Y$ является константой относительно $X$ , производная $Y$ относительно $X$ равна $0$ .

$Y \frac{X + Y - X (1 + 0)}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$Y \frac{X + Y - X \cdot 1}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$Y \frac{X + Y - X}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3.6.3

Вычтем $X$ из $X$ .

$Y \frac{Y + 0}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3.6.4

Добавим $Y$ и $0$ .

$Y \frac{Y}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.3.6.5

Объединим $Y$ и $\frac{Y}{{(X + Y)}^{2}}$ .

$\frac{Y \cdot Y}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.4

Возведем $Y$ в степень $1$ .

$\frac{Y^{1} Y}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.5

Возведем $Y$ в степень $1$ .

$\frac{Y^{1} Y^{1}}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{Y^{1 + 1}}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{Y^{2}}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$Z' = \frac{Y^{2}}{{(X + Y)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $Z'$ на $\frac{d Z}{d X}$ .

$\frac{d Z}{d X} = \frac{Y^{2}}{{(X + Y)}^{2}}$