Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 4

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\int \sin^{3} (t) d t$

Этап 6

Вынесем $\sin^{2} (t)$ за скобки.

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Этап 7

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (t)$ в виде $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Этап 8

Пусть $u = \cos (t)$ . Тогда $d u = - \sin (t) d t$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = \cos (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 8.1.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 12

Упростим.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (t)$ .

$- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$