Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью правила частного. Mathway использует другой способ.

Этап 2

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$ — первообразная $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ , поэтому по определению $\frac{d}{d x} [\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x]$ — это $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Этап 3.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 3.3.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 3.3.3

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sec^{2} (x)}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 3.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 3.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \cos^{2} (x)$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Этап 3.7.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Этап 3.7.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Этап 3.7.2

Объединим $\frac{1}{\sin (x)}$ и $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Этап 3.7.3

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.7.3.2

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.2.1

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.2.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.7.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)}$

Этап 3.7.3.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8.2

Разделим дроби.

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8.4

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8.5

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8.6

Разделим дроби.

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8.7

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cot (x)$

Этап 3.8.8

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \cos^{2} (x) \cot (x)$