Математический анализ Примеры

$\int - \csc^{2} (x) \cot^{3} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \csc^{2} (x) \cot^{3} (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \cot (x)$ . Тогда $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \cot (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \int - 1 u^{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- - \int u^{3} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \int u^{3} d u$

Этап 4.2

Умножим $\int u^{3} d u$ на $1$ .

$\int u^{3} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (x)$ .

$\frac{1}{4} \cot^{4} (x) + C$