Математический анализ Примеры

$(x + 1) e^{x}$

Этап 1

Запишем $(x + 1) e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = (x + 1) e^{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (x + 1) e^{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x + 1$ и $d v = e^{x}$ .

$(x + 1) e^{x} - \int e^{x} d x$

Этап 5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$(x + 1) e^{x} - (e^{x} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $(x + 1) e^{x} - (e^{x} + C)$ в виде $x e^{x} + e^{x} - e^{x} + C$ .

$x e^{x} + e^{x} - e^{x} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0 + C$

Этап 6.2.2

Добавим $x e^{x}$ и $0$ .

$x e^{x} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (x + 1) e^{x}$ .

$F (x) =$ $x e^{x} + C$