Математический анализ Примеры

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

Этап 1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int \frac{x^{2}}{2 x + 1} d x$

Этап 2

Разделим $x^{2}$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + \frac{x}{2}$ .

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$

Этап 2.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

Этап 2.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- \frac{x}{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

Этап 2.8

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

Этап 2.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

Этап 2.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Этап 2.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$12 \int \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$12 (\int \frac{x}{2} d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Этап 7.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Этап 9

Пусть $u = 2 x + 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 9.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Этап 10.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 12.2

Умножим $2$ на $4$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

Этап 14

Упростим.

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| u |)}{8}) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Чтобы записать $\frac{x^{2}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Этап 16.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $\frac{x^{2}}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Этап 16.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Этап 16.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Этап 16.4

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Этап 16.5

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Этап 16.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{4}$ в числитель.

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Этап 16.6.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Этап 16.6.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Этап 16.6.4

Перепишем это выражение.

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Этап 16.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Этап 16.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.8.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Этап 16.8.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Этап 16.8.3

Сократим общий множитель.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Этап 16.8.4

Перепишем это выражение.

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Этап 16.9

Объединим $3$ и $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.10

Чтобы записать $- 3 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.11

Объединим $- 3 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.13.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.13.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x \cdot 2$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.13.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.15

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.16

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 16.17

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Этап 16.18

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Этап 16.19

Перепишем $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ в виде $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Этап 16.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$