Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} d x$

Этап 3.1.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем $x^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ в виде $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 6

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$