Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{5} [2 y - (y^{2} - 15)] d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 3}^{5} 2 y - (y^{2} - 15) d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{5} 2 y d y + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 3}^{5} y d y + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Этап 6

Умножим $- (y^{2} - 15)$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} - - 15 d y$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 15$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} + 15 d y$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} d y + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} y^{2} d y + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Этап 10

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $5$ и в $- 3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $5$ и в $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

Этап 13.3

Найдем значение $15 y$ в $5$ и в $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{25 - 9}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.4

Вычтем $9$ из $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.5

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{8}{1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.5.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$2 \cdot 8 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.6

Умножим $2$ на $8$ .

$16 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.7

Возведем $5$ в степень $3$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.8

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.9

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.9.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$16 - (\frac{125}{3} - - 9) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.10

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$16 - (\frac{125}{3} + 9) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.11

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$16 - (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.12

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$16 - (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$16 - \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.14.1

Умножим $9$ на $3$ .

$16 - \frac{125 + 27}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.14.2

Добавим $125$ и $27$ .

$16 - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.15

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.16

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 \cdot 3 - 152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.18.1

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{48 - 152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.18.2

Вычтем $152$ из $48$ .

$\frac{- 104}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{104}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.20

Умножим $15$ на $5$ .

$- \frac{104}{3} + 75 - 15 \cdot - 3$

Этап 13.4.21

Умножим $- 15$ на $- 3$ .

$- \frac{104}{3} + 75 + 45$

Этап 13.4.22

Добавим $75$ и $45$ .

$- \frac{104}{3} + 120$

Этап 13.4.23

Чтобы записать $120$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{104}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 13.4.24

Объединим $120$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{104}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}$

Этап 13.4.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 104 + 120 \cdot 3}{3}$

Этап 13.4.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.26.1

Умножим $120$ на $3$ .

$\frac{- 104 + 360}{3}$

Этап 13.4.26.2

Добавим $- 104$ и $360$ .

$\frac{256}{3}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{256}{3}$

Десятичная форма:

$85.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$85 \frac{1}{3}$

Этап 15