Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Этап 3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ и $\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 4.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило умножения к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.2

Объединим.

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.3

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.4

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.5

Применим правило умножения к $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.6

Объединим.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.7

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.8

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 36} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.9

Умножим $2$ на $36$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{72} + \frac{1}{2})$

Этап 4.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.12

Чтобы записать $\frac{π^{2}}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $72$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.13.1

Умножим $\frac{π^{2}}{8}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.13.2

Умножим $8$ на $9$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.15

Вычтем $π^{2}$ из $π^{2} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.15.1

Изменим порядок $π^{2}$ и $9$ .

$\frac{9 \cdot π^{2} - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.15.2

Вычтем $π^{2}$ из $9 \cdot π^{2}$ .

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.16

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2 - 1}{2}$

Этап 4.4.18

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{1}{2}$

Этап 5

Сократим общий множитель $8$ и $72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot π^{2}$ .

$\frac{8 (π^{2})}{72} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $8$ из $72$ .

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$1.59662271 \dots$