Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{49 x^{2} - 4} + 3}{x + 3}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $49 x^{2}$ в виде ${(7 x)}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{{(7 x)}^{2} - 4} + 3}{x + 3}$

Этап 1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{{(7 x)}^{2} - 2^{2}} + 3}{x + 3}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 7 x$ и $b = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(7 x + 2) (7 x - 2)} + 3}{x + 3}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + \frac{3}{x}}{1 + \frac{3}{x}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 3.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (7 x + 2) (7 x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 x (7 x - 2) + 2 (7 x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 x \cdot 7 x + 7 x \cdot - 2 + 2 (7 x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 x \cdot 7 x + 7 x \cdot - 2 + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 \cdot 7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2 + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.4.2

Перенесем $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 \cdot 7 x \cdot x + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.4.3

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x \cdot x + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{1} x + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{1} x^{1} + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{1 + 1} + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.2.1

Умножим $7$ на $- 2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 14 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.8.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 14 x + 14 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.8.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 14 x + 14 x - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.8.3

Добавим $- 14 x$ и $14 x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} + 0 - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.8.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.2.9

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(7 x + 2) (7 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(7 x + 2) (7 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 7 x + 2$ и $g (x) = 7 x - 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) \frac{d}{d x} [7 x - 2] + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.3

По правилу суммы производная $7 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.6

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 + 0) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.8

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) \cdot 7 + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.9

Перенесем $7$ влево от $7 x + 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 \cdot (7 x + 2) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.10

По правилу суммы производная $7 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.11

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.13

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.14

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.15

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.16

Перенесем $7$ влево от $7 x - 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + 7 \cdot (7 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 \cdot 7 x + 7 \cdot 2 + 7 (7 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 \cdot 7 x + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 7 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.17.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.17.3.1

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 7 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.17.3.2

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 14 + 7 \cdot 7 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.17.3.3

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 14 + 49 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.17.3.4

Умножим $7$ на $- 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 14 + 49 x - 14}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.17.3.5

Добавим $49 x$ и $49 x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x + 14 - 14}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.17.3.6

Вычтем $14$ из $14$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.17.3.7

Добавим $98 x$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x}{2 x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель $98$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $98 x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 49 x}{2 x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 49 x}{2 (x)}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 49 x}{2 x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x}{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x}{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.4.2.2

Разделим $49$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 49} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $49$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{49} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 5.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Этап 7.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Этап 7.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 8

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2}} + 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 9.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 9.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{7 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 9.1.4

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{7}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{7}{1 + 0}$

Этап 9.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{7}{1}$

Этап 9.3

Разделим $7$ на $1$ .

$7$