Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cos (π x)}{e^{x} - \sqrt{e}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (lim_{x \to \frac{1}{2}} π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Этап 4

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

Этап 7

Найдем предел $\sqrt{e}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (π \frac{1}{2})$ .

$\frac{\frac{\cos (π \frac{1}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Этап 9.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Этап 9.3

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{0}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Этап 9.4

Разделим $0$ на $e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}$ .

$0$