Математический анализ Примеры

$\int x (x^{3} + \frac{2}{x^{3}}) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x^{3} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{3} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 3} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\int x^{4} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\int x^{4} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\int x^{4} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\int x^{4} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{4} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\frac{1}{5} x^{5} + 2 (- x^{- 1}) + C$

Этап 7.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{- 1} + C$