Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

Этап 1

Изменим порядок $1$ и $- x$ .

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

Этап 2

Разделим $x$ на $- x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Этап 2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 5

Пусть $u = - x + 1$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 5.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 5.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u_{upper} = - 2 + 1$

Этап 5.5.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $- x$ в $2$ и в $0$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Этап 9.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $- 1$ и в $1$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

Этап 11.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

Этап 11.3

Разделим $1$ на $1$ .

$- 2 - \ln (1)$

Этап 11.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 2 - 0$

Этап 11.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 2 + 0$

Этап 11.6

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2$

Этап 12