Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{2 x - 5}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 5}$ в виде ${(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.11

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.12

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Этап 1.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Этап 1.13.2

Объединим $\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Этап 2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Этап 2.1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 5$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 5)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.7.2

Объединим ${(2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 5)$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 2.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 2.12

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 + 0)$

Этап 2.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 2$

Этап 2.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.13.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.13.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 ({(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 2.14.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.14.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- 1}{{(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 5}$ в виде ${(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.7.3

Перенесем ${(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 4.1.8

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 4.1.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 4.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 4.1.11

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 4.1.12

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Этап 4.1.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Этап 4.1.13.2

Объединим $\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.13.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.13.4

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 5.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{\sqrt{{(2 x - 5)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{1}{\sqrt{2 x - 5}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{2 x - 5}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{2 x - 5} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x - 5}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 5}$ в виде ${(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x - 5)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упростим.

$2 x - 5 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 6.3.3.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 6.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 6.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x - 5}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x - 5 < 0$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$2 x < 5$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $2 x < 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $2 x < 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{5}{2}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} < \frac{5}{2}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{5}{2}$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq \frac{5}{2}$

$(- \infty, \frac{5}{2}]$

$x \leq \frac{5}{2}$

$(- \infty, \frac{5}{2}]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{5}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{1}{{(2 (\frac{5}{2}) - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{{(2 (\frac{5}{2}) - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{{(5 - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$- \frac{1}{0^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{0^{3}}$

Этап 9.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Этап 9.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11