Математический анализ Примеры

$2 x (1 + 3 x^{3})$

Этап 1

Запишем $2 x (1 + 3 x^{3})$ в виде функции.

$f (x) = 2 x (1 + 3 x^{3})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 x (1 + 3 x^{3}) d x$

Этап 4

Умножим $2 x (1 + 3 x^{3})$ .

$\int 2 x \cdot 1 + 2 x (3 x^{3}) d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\int 2 x + 2 x (3 x^{3}) d x$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\int 2 x + 6 x \cdot x^{3} d x$

Этап 5.3

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\int 2 x + 6 (x^{3} x) d x$

Этап 5.3.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 2 x + 6 (x^{3} x^{1}) d x$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x + 6 x^{3 + 1} d x$

Этап 5.3.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\int 2 x + 6 x^{4} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x d x + \int 6 x^{4} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x d x + \int 6 x^{4} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x^{4} d x$

Этап 9

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x^{4} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Этап 11.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Этап 11.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Этап 11.2.4

Объединим $6$ и $\frac{1}{5}$ .

$x^{2} + \frac{6}{5} x^{5} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 x (1 + 3 x^{3})$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{6}{5} x^{5} + C$