Математический анализ Примеры

$9 x \cos (3 x)$

Этап 1

Запишем $9 x \cos (3 x)$ в виде функции.

$f (x) = 9 x \cos (3 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 9 x \cos (3 x) d x$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int x \cos (3 x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (3 x)$ .

$9 (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sin (3 x)$ .

$9 (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sin (3 x)$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

Этап 8

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

Этап 9

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $3$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

Этап 12

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

Этап 13

Перепишем $9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ в виде $9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9}) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 (3) \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Этап 15.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 3 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Этап 15.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (x \sin (3 x)) + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Этап 15.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (x \sin (3 x)) + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Этап 15.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (x \sin (3 x)) + \cos (3 x) + C$

$3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 9 x \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) + C$