Математический анализ Примеры

$\tan^{4} (x)$

Этап 1

Запишем $\tan^{4} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \tan^{4} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \tan^{4} (x) d x$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} d x$

Этап 4.2

Перепишем ${\tan (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x$

Этап 6

Упростим.

$\int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Этап 9

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Этап 10

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Этап 11.2

Перепишем ${\sec (x)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 12

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Этап 13

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 13.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u$

Этап 14

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u$

Этап 15

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u$

Этап 16

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 17

Упростим.

$x - 2 \tan (x) + u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 18

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$x - 2 \tan (x) + \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Этап 19

Добавим $- 2 \tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Этап 20

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \tan^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$