Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 5 - 7 x$ . Тогда $d u = - 7 d x$ , следовательно $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 5 - 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $5 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 7 x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $5 - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$0 - 7$

Этап 4.1.4

Вычтем $7$ из $0$ .

$- 7$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 7} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{7}) d u$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{u^{4}}$ на $\frac{1}{7}$ .

$3 \int - \frac{1}{u^{4} \cdot 7} d u$

Этап 5.3

Перенесем $7$ влево от $u^{4}$ .

$3 \int - \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (- \int \frac{1}{7 u^{4}} d u)$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$- 3 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Этап 9.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Этап 9.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем $u^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{3}{7} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Этап 9.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Этап 9.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{- 4} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{- 4}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ в виде $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Этап 11.2.2

Перенесем $3$ влево от $u^{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{7}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Этап 11.2.4

Умножим $\frac{3}{7}$ на $1$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Этап 11.2.5

Умножим $\frac{3}{7}$ на $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{7 (3 u^{3})} + C$

Этап 11.2.6

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{3}{21 u^{3}} + C$

Этап 11.2.7

Сократим общий множитель $3$ и $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{21 u^{3}} + C$

Этап 11.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $21 u^{3}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (7 u^{3})} + C$

Этап 11.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (7 u^{3})} + C$

Этап 11.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7 u^{3}} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $5 - 7 x$ .

$\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$