Математический анализ Примеры

$\frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{x}{\sin^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{x}{\sin^{2} (x) \cdot 1} d x$

Этап 4.2

Разделим дроби.

$\int \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 4.3

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$\int \frac{x}{1} \csc^{2} (x) d x$

Этап 4.4

Разделим $x$ на $1$ .

$\int x \csc^{2} (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \csc^{2} (x)$ .

$x (- \cot (x)) - \int - \cot (x) d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- \cot (x)) - - \int \cot (x) d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- \cot (x)) + 1 \int \cot (x) d x$

Этап 7.2

Умножим $\int \cot (x) d x$ на $1$ .

$x (- \cot (x)) + \int \cot (x) d x$

Этап 8

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Этап 9

Перепишем $x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$ в виде $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$