Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $- 2$ , $- 1$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.2.3

Перенесем $2$ влево от ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.4.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.4.5.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.7.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.8.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.1.9

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.2.2

Добавим $- 4 x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.2.3

Добавим $- 4 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.3.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4

Сократим общий множитель $- x + 1$ и ${(x - 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4.4

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4.5

Вынесем множитель $x - 1$ из $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.1.5.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.4.6.1

Вынесем множитель $x - 1$ из ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.1.5.4.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.1.5.4.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.1.5.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.1.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.4

Вычислим $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 1.4.1.2.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

Этап 1.4.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

Этап 1.4.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{{((- 2) - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{4}{{(- 2 - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{4}{{(- 3)}^{2}}$

Этап 3.1.2.2.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{4}{9}$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{((- 1) - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{{(- 1 - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(- 2, \frac{4}{9}), (- 1, \frac{1}{4})$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(- 2, \frac{4}{9})$

Абсолютный минимум: $(- 1, \frac{1}{4})$

Этап 5