Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + x^{- 3}}{3 x^{- 3} + 5}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + x^{- 3}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} x^{- 3}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Этап 3

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} x^{- 3}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + lim_{x \to \infty} 5}$

Этап 6.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7 + 0}{3 lim_{x \to \infty} x^{- 3} + lim_{x \to \infty} 5}$

Этап 7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7 + 0}{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Этап 8

$\frac{7 + 0}{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 5}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{3 \cdot 0 + 5}$

Этап 9.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{7}{3 \cdot 0 + 5}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{7}{0 + 5}$

Этап 9.2.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{7}{5}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{5}$

Десятичная форма:

$1.4$