Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 10.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x)]_{0}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Этап 12.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Этап 12.3

Найдем значение $\arctan (x)$ в $2$ и в $0$ .

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$2 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$2 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (4 - \frac{0}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$2 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (4 - \frac{0}{1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (4 - 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (4 + 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.6

Добавим $4$ и $0$ .

$2 \cdot 4 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.7

Умножим $2$ на $4$ .

$8 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$8 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.9.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$8 - 6 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 - 6 (2 - \frac{0}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$8 - 6 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$8 - 6 (2 - \frac{0}{1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$8 - 6 (2 - 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 - 6 (2 + 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.13

Добавим $2$ и $0$ .

$8 - 6 \cdot 2 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.14

Умножим $- 6$ на $2$ .

$8 - 12 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Этап 12.4.15

Вычтем $12$ из $8$ .

$- 4 + 3 (\arctan (2) - \arctan (0))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Найдем значение $\arctan (2)$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 - \arctan (0))$

Этап 13.1.1.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 - 0)$

Этап 13.1.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 + 0)$

Этап 13.1.2

Добавим $1.10714871$ и $0$ .

$- 4 + 3 \cdot 1.10714871$

Этап 13.1.3

Умножим $3$ на $1.10714871$ .

$- 4 + 3.32144615$

Этап 13.2

Добавим $- 4$ и $3.32144615$ .

$- 0.67855384$

Этап 14