Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

Этап 1

Запишем $8$ как $9$ плюс $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Этап 3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

Этап 7

Перепишем $- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ в виде $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Этап 9.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Этап 9.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$