Математический анализ Примеры

$e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Этап 4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Этап 4.3.3

Перепишем $- 1 (x^{2} + 2 x)$ в виде $- (x^{2} + 2 x)$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Этап 5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем $2$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Этап 5.4.3

Вычтем $2 x e^{- x}$ из $e^{- x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Этап 5.4.3.2

Вычтем $2 x e^{- x}$ из $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Этап 5.4.4

Добавим $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ и $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Этап 5.6

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$