Математический анализ Примеры

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 \arctan (\frac{t}{2})$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \arctan (t)$ и $g (t) = \frac{t}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Этап 2.2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t}{2}$ по $t$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Этап 2.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.6

Умножим $\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от $1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Этап 2.8

Объединим $5$ и $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{t}{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Этап 3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

Этап 3.3.3

Объединим $2$ и $\frac{t^{2}}{4}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

Этап 3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ .

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.5.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.5.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

Этап 3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

Этап 3.7

Умножим $5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $5$ и $\frac{2}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

Этап 3.7.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{t^{2} + 4}$