Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x - 4 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + 2 x^{4}}}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Этап 2.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Этап 5.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Этап 7

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 2}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Этап 8.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0 + 0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Этап 8.2.1.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Этап 8.2.1.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 2}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Этап 8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{\sqrt{2}}$

Этап 8.2.4

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 8.2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.2.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 8.2.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 8.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 8.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 8.2.5.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.2.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.2.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.2.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.2.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 8.2.5.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.2.6

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Этап 8.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 8.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Этап 8.2.6.2.4

Разделим $2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$- (2 \sqrt{2})$

Этап 8.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$- 2.82842712 \dots$