Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 2 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Этап 8.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 - 1 \cdot 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1 - 1 - 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Этап 9.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 - 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Этап 9.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{- 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 2}{1 - 2 \cdot 1}$

Этап 9.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{- 2}{1 - 2}$

Этап 9.2.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 2}{- 1}$

Этап 9.3

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$2$