Математический анализ Примеры

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 8.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 10

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 11.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 11.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 11.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int x^{- 2} d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (- x^{- 1} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

$\frac{- 1}{x^{2}} - 4 (- x^{- 1}) + C$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x^{2}} - 4 (- x^{- 1}) + C$

Этап 13.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 1} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 1} + C$