Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $6 x$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Этап 3

Пусть $u = 3 x (x + 2)$ . Тогда $d u = (6 x + 6) d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 3 x (x + 2)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $3 x (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

Этап 3.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x (x + 2)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 2$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.4.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

Этап 3.1.4.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.6.1

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$3 (x + x + 2)$

Этап 3.1.4.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$3 (2 x + 2)$

Этап 3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Этап 3.1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Этап 3.1.5.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x + 6$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Этап 4.2

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 6.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 6.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 6.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 6.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $3 x (x + 2)$ .

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$