Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) e^{x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2} - 1$ и $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} (2 x) d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x)$

Этап 3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Этап 5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $(x^{2} - 1) e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Этап 6.2

Найдем значение $x e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Этап 6.3

Найдем значение $e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$(1 - 1) e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.3

Упростим.

$0 e - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.4

Умножим $0$ на $e$ .

$0 - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - (0 - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.6

Вычтем $1$ из $0$ .

$0 - - 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 1 \cdot 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.9

Умножим $1$ на $1$ .

$0 + 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.10

Добавим $0$ и $1$ .

$1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.11

Упростим.

$1 - 2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.12

Умножим $e$ на $1$ .

$1 - 2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.13

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - 2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.14

Умножим $0$ на $1$ .

$1 - 2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.15

Добавим $e$ и $0$ .

$1 - 2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 6.4.16

Упростим.

$1 - 2 (e - (e - e^{0}))$

Этап 6.4.17

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

Этап 6.4.18

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - 2 (e - e - - 1)$

Этап 7.1.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 2 (e - e + 1)$

Этап 7.1.2

Вычтем $e$ из $e$ .

$1 - 2 (0 + 1)$

Этап 7.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$1 - 2 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1$

Этап 8