Математический анализ Примеры

$\int_{5}^{\sqrt{x}} f (t) d t = x^{2}$

Этап 1

Поскольку $f$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $f$ из-под знака интеграла.

$f \int_{5}^{\sqrt{x}} t d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f \frac{1}{2} t^{2}]_{5}^{\sqrt{x}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$f \frac{t^{2}}{2}]_{5}^{\sqrt{x}}$

Этап 3.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $\sqrt{x}$ и в $5$ .

$f ((\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2}) - \frac{5^{2}}{2})$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Этап 3.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Этап 3.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Этап 3.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{1}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Этап 3.2.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Этап 3.2.2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{25}{2})$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$f (\frac{1}{2} x - \frac{25}{2})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{25}{2})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f \frac{x}{2} + f (- \frac{25}{2})$

Этап 4.3

Объединим $f$ и $\frac{x}{2}$ .

$\frac{f x}{2} + f (- \frac{25}{2})$

Этап 4.4

Объединим $f$ и $\frac{25}{2}$ .

$\frac{f x}{2} - \frac{f \cdot 25}{2}$

Этап 4.5

Перенесем $25$ влево от $f$ .

$\frac{f x}{2} - \frac{25 f}{2}$