Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x)$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} x' + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} x' + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} x' + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} x' + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.9

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x'$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x'}{2} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.2.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} x' + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x' + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.3.8

Объединим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} + \frac{d}{d y} [- 8 x]$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $y$ , производная $- 8 x$ по $y$ равна $- 8 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - 8 \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.4.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - 8 x'$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - 8 x'$

Этап 6

Решим относительно $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - 8 x' = 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - 8 x' = 1$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1, 1$

Этап 6.2.2

Так как $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 2, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{1}{2}}$ .

Этап 6.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 6.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.2.6

НОК $2, 2, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 6.2.7

НОК $x^{\frac{1}{2}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.8

НОК $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3

Каждый член в $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - 8 x' = 1$ умножим на $2 x^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - 8 x' = 1$ на $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x' + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x' + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$x' + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$x' + 3 x^{\frac{1}{2}} x' x^{\frac{1}{2}} - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.6

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.6.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x' + 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x' - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x' + 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x' - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' + 3 x^{\frac{1 + 1}{2}} x' - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x' + 3 x^{\frac{2}{2}} x' - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.6.5

Разделим $2$ на $2$ .

$x' + 3 x^{1} x' - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.7

Упростим $3 x^{1} x'$ .

$x' + 3 x x' - 8 x' (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x' + 3 x x' - 8 \cdot 2 x' x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.9

Умножим $- 8$ на $2$ .

$x' + 3 x x' - 16 x' x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $2 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x' + 3 x x' - 16 x' x^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Найдем общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

${({x'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 {(x {x'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 x' x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4.2

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ .

${({x'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 {(x {x'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${({x'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${x'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 {(x {x'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${x'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 {(x {x'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${x'}^{1} + 3 {(x {x'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3.1.2

Упростим.

$x' + 3 {(x {x'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3.1.3

Применим правило умножения к $x {x'}^{\frac{1}{2}}$ .

$x' + 3 (x^{2} {({x'}^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3.1.4

Перемножим экспоненты в ${({x'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' + 3 (x^{2} {x'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$x' + 3 (x^{2} {x'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$x' + 3 (x^{2} {x'}^{1}) - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3.1.5

Упростим.

$x' + 3 x^{2} x' - 16 x' u - 2 u = 0$

Этап 6.4.3.2

Перенесем все члены без $u$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Вычтем $x'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} x' - 16 x' u - 2 u = - x'$

Этап 6.4.3.2.2

Вычтем $3 x^{2} x'$ из обеих частей уравнения.

$- 16 x' u - 2 u = - x' - 3 x^{2} x'$

Этап 6.4.3.3

Вынесем множитель $2 u$ из $- 16 x' u - 2 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1

Вынесем множитель $2 u$ из $- 16 x' u$ .

$2 u (- 8 x') - 2 u = - x' - 3 x^{2} x'$

Этап 6.4.3.3.2

Вынесем множитель $2 u$ из $- 2 u$ .

$2 u (- 8 x') + 2 u (- 1) = - x' - 3 x^{2} x'$

Этап 6.4.3.3.3

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (- 8 x') + 2 u (- 1)$ .

$2 u (- 8 x' - 1) = - x' - 3 x^{2} x'$

Этап 6.4.3.4

Разделим каждый член $2 u (- 8 x' - 1) = - x' - 3 x^{2} x'$ на $2 (- 8 x' - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.4.1

Разделим каждый член $2 u (- 8 x' - 1) = - x' - 3 x^{2} x'$ на $2 (- 8 x' - 1)$ .

$\frac{2 u (- 8 x' - 1)}{2 (- 8 x' - 1)} = \frac{- x'}{2 (- 8 x' - 1)} + \frac{- 3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 6.4.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u (- 8 x' - 1)}{2 (- 8 x' - 1)} = \frac{- x'}{2 (- 8 x' - 1)} + \frac{- 3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 6.4.3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{u (- 8 x' - 1)}{- 8 x' - 1} = \frac{- x'}{2 (- 8 x' - 1)} + \frac{- 3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 6.4.3.4.2.2

Сократим общий множитель $- 8 x' - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u (- 8 x' - 1)}{- 8 x' - 1} = \frac{- x'}{2 (- 8 x' - 1)} + \frac{- 3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 6.4.3.4.2.2.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- x'}{2 (- 8 x' - 1)} + \frac{- 3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 6.4.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{x'}{2 (- 8 x' - 1)} + \frac{- 3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 6.4.3.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{x'}{2 (- 8 x' - 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 6.4.4

Подставим $x'$ вместо $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{x'}{2 (- 8 x' - 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x' - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x'$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{x'}{2 (- (8 x') - 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 7.1.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{x'}{2 (- (8 x') - 1 \cdot 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x') - 1 (1)$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{x'}{2 (- (8 x' + 1))} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{x'}{2 \cdot (- 1 (8 x' + 1))} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 7.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{x'}{- (2 (8 x' + 1))} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{x'}{- 2 (8 x' + 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 7.3

Умножим $- - \frac{x'}{2 (8 x' + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 1 (\frac{x'}{2 (8 x' + 1)}) - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{x'}{2 (8 x' + 1)}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- 8 x' - 1)}$

Этап 7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x' - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x'$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- (8 x') - 1)}$

Этап 7.4.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- (8 x') - 1 \cdot 1)}$

Этап 7.4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x') - 1 (1)$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 (- (8 x' + 1))}$

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{2 \cdot (- 1 (8 x' + 1))}$

Этап 7.4.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{- (2 (8 x' + 1))}$

Этап 7.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} - \frac{3 x^{2} x'}{- 2 (8 x' + 1)}$

Этап 7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} + \frac{3 x^{2} x'}{2 (8 x' + 1)}$

Этап 7.6

Умножим $- - \frac{3 x^{2} x'}{2 (8 x' + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} + 1 (\frac{3 x^{2} x'}{2 (8 x' + 1)})$

Этап 7.6.2

Умножим $\frac{3 x^{2} x'}{2 (8 x' + 1)}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} + \frac{3 x^{2} x'}{2 (8 x' + 1)}$

Этап 8

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x'}{2 (8 x' + 1)} + \frac{3 x^{2} x'}{2 (8 x' + 1)}$