Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y}) = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.2.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \arctan (\frac{x}{y})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [\arctan (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Этап 2.3.2.2

Производная $\arctan (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Этап 2.3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}})$

Этап 2.3.6

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}})$

Этап 2.3.7

Умножим $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ на $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Этап 2.3.8

Объединим $2$ и $\frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Этап 2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Этап 2.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 (x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Этап 2.4.4.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Этап 2.4.4.3

Объединим $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ и $y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Этап 2.4.4.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Этап 2.4.4.4.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Этап 2.4.4.5

Чтобы записать $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') \cdot \frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Этап 2.4.4.6

Объединим $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ и $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Этап 2.4.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) + 2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Этап 2.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Развернем $(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x (y^{2} + x^{2}) + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{2 + 1} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.2.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.2.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.2.2.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y^{1}) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{2 + 1} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.3

Умножим $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ на $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{3} y'$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 y y' x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y^{2}) + 2 (x^{3})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y')$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{\frac{2 ((x y^{2} + x^{3}) + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{\frac{2 (x (y^{2} + x^{2}) + y y' (y^{2} + x^{2}))}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y^{2} + x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (y^{2} + x^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.5

Сократим общий множитель $y^{2} + x^{2}$ и $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.5.3

Разделим $2 (x + y y')$ на $1$ .

$\frac{2 (x + y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.7

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 y y' - 2 x y' + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y' - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.7.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + y y') + 2 (- x y')$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.4.6.7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + y y' - x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 (x + y y' - x y' + y) = 0$

Этап 5.2

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Разделим каждый член $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.1.2.1.2

Разделим $x + y y' - x y' + y$ на $1$ .

$x + y y' - x y' + y = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x + y y' - x y' + y = 0$

Этап 5.2.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y y' - x y' + y = - x$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y y' - x y' = - x - y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y y' - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $y y'$ .

$y' y - x y' = - x - y$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - x - y$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - x - y$

Этап 5.2.4

Разделим каждый член $y' (y - x) = - x - y$ на $y - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Разделим каждый член $y' (y - x) = - x - y$ на $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Этап 5.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Сократим общий множитель $y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Этап 5.2.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Этап 5.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x - y}{y - x}$

Этап 5.2.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - y}{y - x}$

Этап 5.2.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (x) - (y)}{y - x}$

Этап 5.2.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (x + y)}{y - x}$

Этап 5.2.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.5.1

Перепишем $- (x + y)$ в виде $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + y)}{y - x}$

Этап 5.2.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x + y}{y - x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{y - x}$