Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

Этап 1

Разделим $4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ на $t^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 t^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $t^{2}$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 t^{3} + 0 + 16 t$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- t^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $t^{2}$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- t^{2} + 0 - 4$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок $t^{2}$ и $4$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

Этап 8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{t}{2})$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $4$ и $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ .

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \arctan (\frac{t}{2})$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

Этап 10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

Этап 10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Этап 10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

Этап 10.3.2.2.4

Разделим $2 \arctan (\frac{t}{2})$ на $1$ .

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

Этап 10.4

Изменим порядок членов.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$